Das Gleichheitszeichen ist das Fundament der Mathematik. Es scheint eine grundsätzliche und unumstrittene Aussage zu sein: Diese Dinge sind genau die gleichen.
Aber es gibt eine wachsende Gemeinschaft von Mathematikern, die das Gleichheitszeichen als den ursprünglichen Fehler der Mathematik ansehen. Sie sehen es als Furnier, das wichtige Komplexitäten in der Art und Weise verbirgt, in der Mengen in Beziehung gesetzt werden - Komplexitäten, die Lösungen für eine enorme Anzahl von Problemen eröffnen könnten. Sie wollen die Mathematik in der loseren Sprache der Äquivalenz umformulieren.
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"Wir haben uns diesen Begriff der Gleichheit ausgedacht", sagte Jonathan Campbell von der Duke University. "Es hätte die ganze Zeit Äquivalenz sein sollen."
Die bekannteste Figur in dieser Gemeinde ist Jacob Lurie. Im Juli verließ der 41-jährige Lurie seine Professur an der Harvard University, um am Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey, zu unterrichten, wo sich viele der angesehensten Mathematiker der Welt aufhielten.
Luries Ideen sind in einem Ausmaß verbreitet, wie es in keinem Bereich der Fall ist. In seinen Büchern, die Tausende von dichten technischen Seiten umfassen, hat er eine auffallend andere Weise konstruiert, um einige der wichtigsten Konzepte in der Mathematik zu verstehen, indem er über das Gleichheitszeichen hinausgeht. "Ich glaube nur, er hatte das Gefühl, dass dies die richtige Art ist, über Mathematik nachzudenken", sagte Michael Hopkins, Mathematiker bei Harvard und Berater von Luries Graduiertenschule.
2009 veröffentlichte Lurie sein erstes Buch, Higher Topos Theory. Der 944-seitige Band dient als Handbuch für die Interpretation etablierter Bereiche der Mathematik in der neuen Sprache der „Unendlichkeitskategorien“. In den letzten Jahren sind Luries Ideen eingezogen ein immer breiteres Spektrum von mathematischen Disziplinen. Viele Mathematiker halten sie für unverzichtbar für die Zukunft des Fachs. "Niemand kehrt zurück, sobald er Unendlichkeitskategorien gelernt hat", sagte John Francis von der Northwestern University.
Die Verbreitung von Unendlichkeitskategorien hat jedoch auch die wachsenden Schmerzen offenbart, denen ein ehrwürdiges Feld wie die Mathematik ausgesetzt ist, wenn es versucht, eine große neue Idee aufzunehmen, insbesondere eine Idee, die die Bedeutung seines wichtigsten Konzepts in Frage stellt. "Es gibt ein angemessenes Maß an Konservativität in der Mathematik", sagte Clark Barwick von der University of Edinburgh. "Ich glaube einfach nicht, dass man von einer Population von Mathematikern erwarten kann, dass sie jedes Werkzeug sehr schnell von irgendwoher akzeptieren, ohne ihnen überzeugende Gründe zu geben, darüber nachzudenken."
Obwohl sich viele Mathematiker für Unendlichkeitskategorien entschieden haben, haben nur relativ wenige Luries lange, sehr abstrakte Texte vollständig gelesen. Infolgedessen ist ein Teil der Arbeit, die auf seinen Ideen basiert, weniger streng als in der Mathematik üblich.
"Ich habe Leute sagen lassen:" Es ist irgendwo in Lurie ", sagte Inna Zakharevich, Mathematikerin an der Cornell University. „Und ich sage:‚ Wirklich? Sie verweisen auf 8.000 Textseiten. ' Das ist keine Referenz, sondern ein Aufruf an die Behörde. “
Mathematiker setzen sich immer noch mit der Größe von Luries Ideen und der einzigartigen Art und Weise auseinander, wie sie eingeführt wurden. Sie destillieren und verpacken seine Präsentation von Unendlichkeitskategorien neu, um sie mehr Mathematikern zugänglich zu machen. Sie erfüllen gewissermaßen die wesentlichen Aufgaben der Regierungsführung, die jeder Revolution folgen müssen, indem sie einen transformativen Text in das alltägliche Recht umsetzen. Auf diese Weise bauen sie eine Zukunft für die Mathematik auf, die nicht auf Gleichheit, sondern auf Gleichwertigkeit beruht.
Unendliche Türme der Äquivalenz
Mathematische Gleichheit scheint die am wenigsten kontrovers diskutierte Idee zu sein. Zwei Perlen plus eine Perle entsprechen drei Perlen. Was gibt es dazu noch zu sagen? Aber die einfachsten Ideen können die tückischsten sein.
Seit dem späten 19. Jahrhundert wurde die Grundlage der Mathematik aus Sammlungen von Gegenständen gebildet, die als Mengen bezeichnet werden. Die Mengenlehre spezifiziert Regeln oder Axiome zum Konstruieren und Manipulieren dieser Mengen. Eines dieser Axiome besagt beispielsweise, dass Sie eine Menge mit zwei Elementen zu einer Menge mit einem Element hinzufügen können, um eine neue Menge mit drei Elementen zu erstellen: 2 + 1 = 3.
Auf einer formalen Ebene können Sie zeigen, dass zwei Größen gleich sind, indem Sie sie abkoppeln: Ordnen Sie eine Perle auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens einer Perle auf der linken Seite zu. Beachten Sie, dass nach dem Pairing keine Perlen mehr übrig sind.
Die Mengenlehre erkennt, dass zwei Mengen mit jeweils drei Objekten genau gepaart sind, aber es ist nicht einfach, alle unterschiedlichen Arten der Paarung zu erkennen. Sie können die erste Perle rechts mit der ersten links oder die erste rechts mit der zweiten links paaren und so weiter (es gibt insgesamt sechs mögliche Paarungen). Zu sagen, dass zwei plus eins gleich drei sind und es dabei belassen, bedeutet, all die verschiedenen Arten zu übersehen, in denen sie gleich sind. "Das Problem ist, es gibt viele Möglichkeiten, sich zu paaren", sagte Campbell. "Wir haben sie vergessen, wenn wir" gleich "sagen."
Hier schleicht sich die Äquivalenz ein. Während Gleichheit eine strenge Beziehung ist - entweder sind zwei Dinge gleich oder sie sind nicht gleich -, gibt es Äquivalenz in verschiedenen Formen.
Wenn Sie jedes Element eines Sets genau mit einem Element des anderen Sets abgleichen können, ist dies eine starke Form der Äquivalenz. In einem Bereich der Mathematik, der Homotopietheorie genannt wird, sind beispielsweise zwei Formen (oder geometrische Räume) äquivalent, wenn Sie eine in die andere dehnen oder komprimieren können, ohne sie zu schneiden oder zu zerreißen.
Aus Sicht der Homotopietheorie sind eine flache Scheibe und ein einzelner Punkt im Raum gleichwertig - Sie können die Scheibe auf den Punkt komprimieren. Es ist jedoch unmöglich, Punkte auf der Festplatte mit Punkten auf dem Punkt zu koppeln. Immerhin gibt es unendlich viele Punkte auf der Festplatte, während der Punkt nur ein Punkt ist.
Seit der Mitte des 20. Jahrhunderts haben Mathematiker versucht, eine Alternative zur Mengenlehre zu entwickeln, bei der es natürlicher wäre, Mathematik in Bezug auf Äquivalenz zu betreiben. 1945 stellten die Mathematiker Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane ein neues grundlegendes Objekt vor, in das die Äquivalenz eingebrannt war. Sie nannten es eine Kategorie.
Kategorien können mit allem gefüllt werden, was Sie wollen. Sie könnten eine Kategorie von Säugetieren haben, die alle haarigen, warmblütigen, laktierenden Kreaturen der Welt sammeln würden. Oder Sie können Kategorien von mathematischen Objekten erstellen: Mengen, geometrische Räume oder Zahlensysteme.
Eine Kategorie ist eine Menge mit zusätzlichen Metadaten: eine Beschreibung aller Arten, in denen zwei Objekte miteinander in Beziehung stehen, einschließlich einer Beschreibung aller Arten, in denen zwei Objekte gleichwertig sind. Sie können sich Kategorien auch als geometrische Objekte vorstellen, bei denen jedes Element in der Kategorie durch einen Punkt dargestellt wird.
Stellen Sie sich zum Beispiel die Oberfläche eines Globus vor. Jeder Punkt auf dieser Oberfläche könnte eine andere Art von Dreieck darstellen. Pfade zwischen diesen Punkten würden Äquivalenzbeziehungen zwischen den Objekten ausdrücken. In der Perspektive der Kategorietheorie vergessen Sie die explizite Art und Weise, wie ein Objekt beschrieben wird, und konzentrieren sich stattdessen darauf, wie sich ein Objekt unter allen anderen Objekten seines Typs befindet.
"Es gibt viele Dinge, die wir als Dinge betrachten, wenn es sich tatsächlich um Beziehungen zwischen Dingen handelt", sagte Zakharevich. „Der Ausdruck‚ mein Ehemann ', wir betrachten ihn als Objekt, aber Sie können ihn auch als eine Beziehung zu mir betrachten. Es gibt einen bestimmten Teil von ihm, der durch seine Beziehung zu mir definiert ist. “
Die Version einer Kategorie von Eilenberg und Mac Lane war gut geeignet, um starke Formen der Äquivalenz zu verfolgen. In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts begannen Mathematiker jedoch zunehmend, nach schwächeren Äquivalenzbegriffen wie der Homotopie zu rechnen. "Da Mathematik immer subtiler wird, ist es unvermeidlich, dass wir uns diesen subtileren Vorstellungen von Gleichheit nähern", sagte Emily Riehl, Mathematikerin an der Johns Hopkins University. In diesen subtileren Vorstellungen von Äquivalenz nimmt die Informationsmenge über die Beziehung zwischen zwei Objekten dramatisch zu. Die rudimentären Kategorien von Eilenberg und Mac Lane waren nicht dafür ausgelegt.
Um zu sehen, wie die Informationsmenge zunimmt, müssen Sie sich zunächst an unsere Kugel erinnern, die viele Dreiecke darstellt. Zwei Dreiecke entsprechen der Homotopie, wenn Sie sich dehnen oder auf andere Weise ineinander verformen können. Zwei Punkte auf der Oberfläche entsprechen der Homotopie, wenn ein Pfad vorhanden ist, der einen mit dem anderen verbindet. Indem Sie die Homotopiepfade zwischen Punkten auf der Oberfläche untersuchen, untersuchen Sie tatsächlich verschiedene Arten, in denen die durch diese Punkte dargestellten Dreiecke in Beziehung zueinander stehen.
Es ist jedoch nicht genug zu sagen, dass zwei Punkte durch viele gleiche Pfade verbunden sind. Sie müssen auch über Äquivalenzen zwischen all diesen Pfaden nachdenken. Sie werden also nicht nur gefragt, ob zwei Punkte gleich sind, sondern auch, ob zwei Pfade, die an demselben Punktepaar beginnen und enden, gleich sind - ob zwischen diesen Pfaden ein Pfad liegt. Dieser Pfad zwischen den Pfaden hat die Form einer Platte, deren Grenze die beiden Pfade sind.
Sie können dort weitermachen. Zwei Discs sind äquivalent, wenn sich zwischen ihnen ein Pfad befindet - und dieser Pfad hat die Form eines dreidimensionalen Objekts. Diese dreidimensionalen Objekte können selbst durch vierdimensionale Pfade verbunden sein (der Pfad zwischen zwei Objekten hat immer eine Dimension mehr als die Objekte selbst).
Letztendlich werden Sie einen unendlichen Turm von Äquivalenzen zwischen Äquivalenzen bauen. Indem Sie das gesamte Gebäude betrachten, erhalten Sie eine vollständige Perspektive auf alle Objekte, die Sie als Punkte auf dieser Kugel dargestellt haben.
"Es ist nur eine Kugel, aber es stellt sich heraus, dass man, um die Form einer Kugel zu verstehen, in gewisser Weise ins Unendliche gehen muss", sagte David Ben-Zvi von der University of Texas, Austin.
In den letzten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts arbeiteten viele Mathematiker an einer Theorie der „Unendlichkeitskategorien“- etwas, das den unendlichen Turm der Äquivalenzen zwischen Äquivalenzen verfolgen würde. Einige machten erhebliche Fortschritte. Nur einer kam den ganzen Weg dahin.
Mathematik umschreiben
Jacob Luries erster Aufsatz über die Theorie der Unendlichkeitskategorien war ungünstig. Am 5. Juni 2003 veröffentlichte der 25-Jährige ein 60-seitiges Dokument mit dem Titel „On Infinity Topoi“auf der wissenschaftlichen Preprint-Site arXiv.org. Dort begann er, Regeln zu skizzieren, nach denen Mathematiker mit Unendlichkeitskategorien arbeiten konnten.
Dieses erste Papier wurde allgemein nicht gut aufgenommen. Peter May, ein Mathematiker an der Universität von Chicago, schrieb Luries Berater, Michael Hopkins, kurz nachdem er es gelesen hatte, per E-Mail, dass Luries Artikel einige interessante Ideen habe, sich aber vorläufig anfühle und mehr Strenge benötige.
„Ich habe Mike unsere Vorbehalte erklärt und Mike hat die Nachricht an Jacob weitergeleitet“, sagte May.
Ob Lurie Mays E-Mail als Herausforderung nahm oder ob er den nächsten Schritt vor Augen hatte, ist nicht klar. (Lurie lehnte mehrere Anfragen ab, für diese Geschichte interviewt zu werden.) Es ist klar, dass Lurie nach Erhalt der Kritik in eine mehrjährige Periode der Produktivität eingetreten ist, die legendär geworden ist.
"Ich bin nicht in Jacobs Gehirn, ich kann nicht genau sagen, was er damals dachte", sagte May. "Aber es gibt sicherlich einen großen Unterschied zwischen dem Entwurf, auf den wir reagiert haben, und den endgültigen Versionen, die sich insgesamt auf einer höheren mathematischen Ebene befinden."
2006 veröffentlichte Lurie auf arXiv.org einen Entwurf der Higher Topos Theory. In dieser Mammutarbeit schuf er die Maschinerie, die erforderlich ist, um die Mengenlehre durch eine neue mathematische Grundlage zu ersetzen, die auf Unendlichkeitskategorien basiert. "Er hat buchstäblich Tausende von Seiten dieser grundlegenden Maschinerie erstellt, die wir jetzt alle verwenden", sagte Charles Rezk, Mathematiker an der Universität von Illinois, Urbana-Champaign, der wichtige frühe Arbeiten zu Unendlichkeitskategorien durchgeführt hat. "Ich könnte mir nicht vorstellen, Higher Topos Theory zu produzieren, das er in zwei oder drei Jahren in seinem Leben produziert hat."
Dann, im Jahr 2011, folgte Lurie mit einer noch längeren Arbeit. Darin erfand er die Algebra neu.
Algebra bietet eine schöne Reihe von formalen Regeln für die Manipulation von Gleichungen. Mathematiker wenden diese Regeln ständig an, um neue Theoreme zu beweisen. Aber die Algebra turnt über die festen Balken des Gleichheitszeichens. Wenn Sie diese Balken entfernen und durch das verwischte Konzept der Äquivalenz ersetzen, werden einige Operationen sehr viel schwieriger.
Nehmen Sie eine der ersten Algebra-Regeln, die Kinder in der Schule lernen: die assoziative Eigenschaft, die besagt, dass die Summe oder das Produkt von drei oder mehr Zahlen nicht davon abhängt, wie die Zahlen gruppiert sind: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4.
Es ist einfach zu beweisen, dass die assoziative Eigenschaft für eine Liste mit drei oder mehr Zahlen gilt, wenn Sie mit Gleichheit arbeiten. Es ist kompliziert, wenn Sie mit starken Vorstellungen von Äquivalenz arbeiten. Wenn Sie zu subtileren Äquivalenzbegriffen mit ihren unendlichen Türmen von Pfaden zwischen Pfaden übergehen, verwandelt sich sogar eine einfache Regel wie die assoziative Eigenschaft in ein Dickicht.
"Dies erschwert die Sache enorm und lässt es unmöglich erscheinen, mit dieser neuen Version der Mathematik, die wir uns vorstellen, zu arbeiten", sagte David Ayala, Mathematiker an der Montana State University.
In der höheren Algebra, deren neueste Version 1.553 Seiten umfasst, entwickelte Lurie - zusammen mit vielen anderen algebraischen Theoremen, die gemeinsam eine Grundlage für die Mathematik der Äquivalenz bildeten - eine Version der assoziativen Eigenschaft für Unendlichkeitskategorien.
Zusammengenommen waren seine beiden Werke seismisch, die Arten von Bänden, die wissenschaftliche Revolutionen auslösen. "Die Skala war völlig massiv", sagte Riehl. "Es war eine Leistung auf der Ebene der Revolution der algebraischen Geometrie in Grothendieck."
Doch Revolutionen brauchen Zeit, und wie Mathematiker herausfanden, nachdem Luries Bücher erschienen waren, können die folgenden Jahre chaotisch sein.
Die Kuh verdauen
Mathematiker haben den Ruf, klare Augen zu haben: Ein Beweis ist richtig oder nicht, eine Idee funktioniert oder nicht. Mathematiker sind aber auch Menschen, und sie reagieren auf neue Ideen wie Menschen: mit Subjektivität, Emotionen und einem Gefühl für persönliche Interessen.
"Ich denke, viel über Mathematik zu schreiben geschieht in dem Ton, in dem Mathematiker nach diesen glitzernden kristallinen Wahrheiten suchen", sagte Campbell. „So geht das nicht. Sie sind Menschen mit ihrem eigenen Geschmack und Komfort, und sie werden Dinge ablehnen, die sie aus ästhetischen oder persönlichen Gründen nicht mögen. “
In dieser Hinsicht war Luries Arbeit eine große Herausforderung. Im Grunde war es eine Provokation: Hier ist ein besserer Weg, um Mathe zu machen. Die Botschaft richtete sich insbesondere an Mathematiker, die ihre Karriere damit verbracht hatten, Methoden zu entwickeln, die Luries Arbeit übersteigen.
"Es gibt diese Spannung in dem Prozess, in dem die Leute nicht immer glücklich sind, wenn die nächste Generation ihre Arbeit umschreibt", sagte Francis. "Dies ist ein Merkmal, das die Unendlichkeitskategorietheorie beeinflusst und das viele frühere Arbeiten umschreibt."
Luries Arbeit war auf andere Weise schwer zu schlucken. Die Menge an Material bedeutete, dass Mathematiker Jahre in die Lektüre seiner Bücher investieren mussten. Für vielbeschäftigte Mathematiker ist dies eine fast unmögliche Voraussetzung, und für Doktoranden, die nur wenige Jahre Zeit haben, Ergebnisse zu erzielen, die ihnen einen Arbeitsplatz verschaffen, ist sie äußerst riskant.
Luries Werk war auch sehr abstrakt, selbst im Vergleich zu der sehr abstrakten Natur von allem anderen in der fortgeschrittenen Mathematik. Aus Geschmacksgründen war es nicht jedermanns Sache. "Viele Leute betrachteten Luries Arbeit als abstrakten Unsinn und viele liebten es absolut und nahmen es an", sagte Campbell. "Dann gab es dazwischen Antworten, einschließlich der Tatsache, dass man es überhaupt nicht versteht."
Wissenschaftliche Gemeinschaften nehmen ständig neue Ideen auf, aber in der Regel langsam und mit dem Gefühl, dass alle gemeinsam vorankommen. Wenn große neue Ideen entstehen, stellen sie die intellektuelle Maschinerie der Gemeinschaft vor Herausforderungen. "Viele Dinge wurden sofort eingeführt, es ist also eine Art Boa Constrictor, der versucht, eine Kuh aufzunehmen", sagte Campbell. "Es gibt diese riesige Masse, die durch die Gemeinde fließt."
Wenn Sie ein Mathematiker waren, der Luries Herangehensweise als besseren Weg ansah, um Mathematik zu üben, war der Weg nach vorne einsam. Nur wenige Leute hatten Luries Werk gelesen, und es gab keine Lehrbücher und keine Seminare, an denen man sich orientieren konnte. "Die Art und Weise, wie man über dieses Zeug wirklich genau lernen musste, bestand darin, sich hinzusetzen und es selbst zu tun", sagte Peter Haine, ein Doktorand am Massachusetts Institute of Technology, der ein Jahr lang Luries Arbeit las. „Ich denke, das ist der schwierige Teil. Es geht nicht nur darum, sich zu setzen und es selbst zu tun - es geht darum, sich zu setzen und es selbst zu tun, indem man 800 Seiten der Higher Topos-Theorie liest. “
Wie bei vielen neuen Erfindungen erfordert die Höhere Topos-Theorie, dass Mathematiker viel mit der Maschinerie interagieren, mit der die Theorie funktioniert. Es ist, als würde jeder 16-Jährige, der auf einen Führerschein hofft, zuerst lernen, wie man einen Motor umbaut. "Wenn es eine fahrerfreundlichere Version gäbe, wäre sie für ein breiteres mathematisches Publikum sofort zugänglich", sagte Dennis Gaitsgory, ein Mathematiker in Harvard, der mit Lurie zusammengearbeitet hat.
Als die Leute anfingen, Luries Arbeiten zu lesen und Unendlichkeitskategorien für ihre eigene Forschung zu verwenden, tauchten andere Probleme auf. Mathematiker würden Papiere unter Verwendung von Unendlichkeitskategorien schreiben. Rezensenten in Zeitschriften würden sie erhalten und sagen: Was ist das?
"Sie haben diese Situation, in der [Papiere] entweder von Zeitschriften mit absurden Schiedsrichterberichten zurückkommen, die tiefe Missverständnisse widerspiegeln, oder es dauert nur einige Jahre, bis sie veröffentlicht werden", sagte Barwick. "Es kann das Leben der Menschen unangenehm machen, weil eine unveröffentlichte Zeitung, die jahrelang auf Ihrer Website liegt, ein wenig komisch aussieht."
Das größte Problem waren jedoch nicht Artikel, die unveröffentlicht blieben, sondern Artikel, die Unendlichkeitskategorien verwendeten und veröffentlicht wurden - mit Fehlern.
Luries Bücher sind der einzige maßgebliche Text zu Unendlichkeitskategorien. Sie sind absolut rigoros, aber schwer zu erfassen. Sie eignen sich besonders schlecht als Nachschlagewerke - es ist schwierig, nach bestimmten Theoremen zu suchen oder zu überprüfen, ob eine bestimmte Anwendung von Unendlichkeitskategorien, auf die man in einem anderen Artikel stoßen könnte, tatsächlich funktioniert.
"Die meisten Leute, die auf diesem Gebiet arbeiten, haben Lurie nicht systematisch gelesen", sagte André Joyal, ein Mathematiker an der Universität von Quebec in Montreal, dessen frühere Arbeit ein wichtiger Bestandteil in Luries Büchern war. „Es würde viel Zeit und Energie kosten. Wir gehen also davon aus, dass das, was in seinem Buch steht, richtig ist, da es fast jedes Mal richtig ist, wenn wir etwas überprüfen. Eigentlich die ganze Zeit."
Die Unzugänglichkeit von Luries Büchern hat zu einer Ungenauigkeit in einigen der darauf basierenden Nachforschungen geführt. Luries Bücher sind schwer zu lesen, schwer zu zitieren und schwer zu benutzen, um die Arbeit anderer zu überprüfen.
"Es gibt ein Gefühl der Schlamperei in der allgemeinen Literatur der Unendlichkeit", sagte Zakharevich.
Trotz aller Formalismen soll Mathematik keine heiligen Texte haben, die nur die Priester lesen können. Das Feld braucht sowohl Broschüren als auch Bände, es braucht neben der ursprünglichen Offenbarung auch eine interpretierende Schrift. Und im Moment existiert die Unendlichkeitskategorietheorie noch größtenteils als ein paar große Bücher im Regal.
"Sie können die Haltung einnehmen, dass 'Jacob Ihnen sagt, was zu tun ist, es ist in Ordnung", sagte Rezk. "Oder Sie können die Haltung einnehmen, dass wir unser Thema nicht so gut präsentieren können, dass die Leute es aufgreifen und damit arbeiten können."
Einige Mathematiker haben sich jedoch der Herausforderung gestellt, Unendlichkeitskategorien zu einer Technik zu machen, mit der mehr Menschen auf ihrem Gebiet arbeiten können.
Eine benutzerfreundliche Theorie
Um Unendlichkeitskategorien in Objekte zu übersetzen, die echte mathematische Arbeit leisten konnten, musste Lurie Theoreme über sie beweisen. Und um dies zu erreichen, musste er eine Landschaft auswählen, in der diese Beweise erstellt werden, genau wie jemand, der Geometrie ausführt, ein Koordinatensystem auswählen muss, in dem gearbeitet werden soll. Mathematiker bezeichnen dies als Auswahl eines Modells.
Lurie entwickelte Unendlichkeitskategorien im Modell der Quasi-Kategorien. Andere Mathematiker hatten zuvor Unendlichkeitskategorien in verschiedenen Modellen entwickelt. Obwohl diese Bemühungen weitaus weniger umfassend waren als die von Luri, sind sie in manchen Situationen einfacher zu handhaben. "Jacob hat sich ein Modell ausgesucht und überprüft, ob alles in diesem Modell funktioniert hat, aber oft ist das nicht das einfachste Modell, in dem man arbeiten kann", sagte Zakharevich.
In der Geometrie verstehen Mathematiker genau, wie man sich zwischen Koordinatensystemen bewegt. Sie haben auch bewiesen, dass Theoreme sich in einer Einstellungsarbeit in der anderen bewiesen haben.
Bei Unendlich-Kategorien gibt es keine solchen Garantien. Wenn Mathematiker jedoch Arbeiten unter Verwendung von Unendlichkeitskategorien schreiben, bewegen sie sich häufig flott zwischen den Modellen, wobei sie davon ausgehen (aber nicht beweisen), dass sich ihre Ergebnisse übertragen. "Die Leute geben nicht an, was sie tun, und sie wechseln zwischen all diesen verschiedenen Modellen und sagen:" Oh, es ist alles das Gleiche ", sagte Haine. "Aber das ist kein Beweis."
In den letzten sechs Jahren haben zwei Mathematiker versucht, diese Garantien zu geben. Riehl und Dominic Verity von der Macquarie University in Australien haben eine Methode zur Beschreibung von Unendlichkeitskategorien entwickelt, die über die in früheren modellspezifischen Frameworks auftretenden Schwierigkeiten hinausgeht. Ihre Arbeit, die auf früheren Arbeiten von Barwick und anderen aufbaut, hat bewiesen, dass viele der Theoreme in Higher Topos Theory gültig sind, unabhängig davon, in welchem Modell Sie sie anwenden. Sie beweisen diese Kompatibilität auf angemessene Weise: „Wir untersuchen Unendlichkeitskategorien wessen Objekte selbst diese Unendlichkeitskategorien sind “, sagte Riehl. „Kategorietheorie isst sich hier selbst.“
Riehl und Verity hoffen, die Unendlichkeitskategorietheorie auch auf andere Weise voranzubringen. Sie spezifizieren Aspekte der Unendlichkeitskategorietheorie, die unabhängig von dem Modell funktionieren, in dem Sie sich befinden. Diese „modellunabhängige“Präsentation bietet eine Plug-and-Play-Qualität, von der sie hoffen, dass sie Mathematiker in das Feld einlädt, die sich möglicherweise fernhalten Höhere Topos-Theorie war der einzige Weg hinein. "Es gibt einen Burggraben, den man überqueren muss, um in diese Welt zu gelangen", sagte Hopkins, "und sie senken die Zugbrücke."
Riehl und Verity werden voraussichtlich nächstes Jahr ihre Arbeit beenden. In der Zwischenzeit hat Lurie kürzlich ein Projekt namens Kerodon gestartet, das er als Lehrbuch im Wikipedia-Stil für Theorie höherer Kategorien beabsichtigt. Dreizehn Jahre nachdem Higher Topos Theory die Mathematik der Äquivalenz formalisiert hatte, sind diese neuen Initiativen ein Versuch, die Ideen zu verfeinern und zu fördern - um die Mathematik der Äquivalenz allgemeiner zugänglich zu machen.
