Komm schon. Einige dieser Karnevalsspiele sind einfach albern. Es gibt eine (siehe Video) mit einer Bowlingkugel und einem Ball, der an einer Schnur darüber hängt. Du sollst den Ball herumschwingen und den Stift von hinten treffen. Spoiler-Alarm: Das geht nicht. Dies ist ein Trottelspiel. Wie soll ich wissen? Physik, mein Freund.
Wenn Sie den Ball zur Seite schwenken, umkreist er den Stift wie ein Planet, der einen Stern umkreist, und die Mitte der Umlaufbahn befindet sich direkt unter der Stelle an der Decke, an der die Schnur befestigt ist. Wenn der Ball beim Loslassen nicht durch die Mitte geht, kann er dies bei der Rückkehr nicht tun. Kein möglicher Weg.
In der Physik werden sowohl der schwingende Ball als auch der umlaufende Planet als zentrale Kraftprobleme bezeichnet. Das bedeutet, dass auf ein Objekt eine Nettokraft einwirkt, die sich zu einem zentralen Punkt hinbewegt. Für einen Planeten ist es die Anziehungskraft des Sterns. Für einen Ball an einer Schnur ist dies möglicherweise nicht so offensichtlich. Aber lassen Sie uns das herausfinden!
Was geht um
Hier ist ein Diagramm eines Balls an einer Schnur, von der Seite gesehen:
Tatsächlich wirken auf diesen Ball zwei Kräfte: die nach unten gerichtete Gravitationskraft (mg) und die Spannung in der Saite (T). (Die Quantifizierung von T ist nicht trivial, da es sich um eine „Einschränkungskraft“handelt. Grundsätzlich ist die Größe das, was erforderlich ist, um den Ball vom Wegfliegen abzuhalten. So funktionieren Saiten.)
Wie Sie sehen, zeigt die T-Kraft diagonal zum Drehpunkt der Saite. Aber wie üblich können wir diese Kraft in horizontale und vertikale Komponenten zerlegen.
Nehmen wir nun zur Vereinfachung an, dass der Ball in einer horizontalen Ebene parallel zum Tisch schwingt (meistens wahr). Wenn wir es von oben betrachten, würde die Umlaufbahn ungefähr so aussehen:
Hier ist Fr die horizontale Komponente der Spannung, und Sie können sehen, dass dies eine zentrale Kraft ist. Überall dort, wo sich der Ball auf seiner elliptischen Bahn befindet, zeigt F r auf den Mittelpunkt, der direkt unter dem Drehpunkt der Saite liegt.
Ich habe oben auch zwei andere Dinge gezeigt. Einer ist ein Pfeil, der den linearen Impuls des Balls (p) zu einem gegebenen Zeitpunkt darstellt, der das Produkt seiner Masse und Geschwindigkeit ist. Der lineare Impuls ist immer tangential zur Umlaufbahn. (Warum p für Schwung? Ich denke, m wurde bereits für die Masse genommen.)
Zweitens beschreibe ich die Position des Balls relativ zum Mittelpunkt mit einem Pfeil mit der Bezeichnung r für den Radius. Beachten Sie, dass r von der Mitte weg zeigt; Sie werden später sehen, warum das wichtig ist. Mit diesen kann ich den Drehimpuls des Balls berechnen, der der Schlüssel zu diesem Spiel ist.
Was ist Drehimpuls?
Der Drehimpuls ist ein Maß für die Drehbewegung. Wir können es als Vektorprodukt der Position eines Objekts und seiner linearen Bewegung berechnen. (Und für den Drehimpuls verwenden wir das Symbol L, weil… um ehrlich zu sein, ich keine Ahnung habe.) Das gibt uns die erste Gleichung unten:
Die Pfeile zeigen, dass es sich um Vektorvariablen handelt, dh sie haben mehr als eine Dimension. Insbesondere drei: für die x-, y- und z-Achse des 3D-Raums, in dem wir leben. Auf diese Weise können sie Richtung und Position beschreiben. Ein Beispiel würde so aussehen: (1, 5, 2). Nicht zu gruselig, oder?
Das Multiplizieren von Vektoren ist kompliziert, aber in unserem Fall können wir die Arbeit überspringen, weil wir wirklich nur die Größe des Drehimpulses benötigen, der ein Skalar ist. Und das können wir aus den Beträgen der Vektoren p und r zusammen mit dem Sinus des Winkels θ zwischen ihnen erhalten. (Ja, ich habe θ zweimal verwendet - tut mir leid.) Dies gibt uns die Gleichung rechts oben.
Das ist ziemlich glatt, denn wenn Sie sich das Orbitaldiagramm noch einmal ansehen, werden Sie feststellen, dass die Vektoren r und p immer senkrecht sind und der Sinus eines 90-Grad-Winkels 1 ist. Also L = r × p. Keine Pfeile, nett und einfach!
Reden wir über Drehmoment
Sie kennen sich mit Drehmoment aus, oder? Sie verwenden es jedes Mal, wenn Sie auf etwas drücken, um es zu drehen. Wenn Sie beispielsweise eine Tür öffnen, hängt das Drehmoment, das Sie erzeugen, von drei Faktoren ab: (1) der Kraft (F), die Sie ausüben (dh wie stark Sie drücken), (2) dem Abstand (r) von der Tür Die Drehachse der Tür (die Scharniere) zu dem Punkt, auf den Sie drücken, und (3) der Winkel (θ) zwischen diesen Kraft- und Distanzvektoren.
Mathematisch gesehen ist Drehmoment auch ein Vektor, der durch den griechischen Buchstaben tau (τ) dargestellt wird. Es gibt aber auch eine skalare Version dieser Gleichung:
Denk darüber nach. Es ist einfacher, eine Tür zu öffnen, indem Sie auf eine Stelle drücken, die weiter von den Scharnieren entfernt ist. Warum? Weil es dir ein größeres r gibt. Deshalb sind Türklinken dort, wo sie sind. Und es ist einfacher, wenn Sie senkrecht zur Tür schieben, als in einem ungewöhnlichen Winkel. Warum? Bei einem θ von 90 Grad erhalten Sie eine maximale sin θ von 1. Ergebnis: kleiner Druck (F), großes Drehmoment (τ).
Und was macht das Drehmoment? Es ändert den Drehimpuls eines Objekts. Dies nennt man das Drehimpulsprinzip und es sieht so aus:
Jetzt können wir alles für unser Karnevalsspiel zusammenstellen. Da die horizontale Komponente der Spannkraft (F r) zur Mitte zeigt und der Vektor r immer von der Mitte weg zeigt, beträgt der Winkel zwischen ihnen immer 180 Grad. Der Sinus von 180 ist Null, was bedeutet, dass kein Nettodrehmoment auf die Kugel wirkt. Kein Nettodrehmoment bedeutet keine Änderung des Drehmoments. Ja, der Drehimpuls der Kugel ist immer gleich.
Eine einfache Simulation
Das ist riesig. Aber es könnte schwierig sein, zu grübeln, also lassen Sie mich ein numerisches Modell erstellen. Hier ist eine Animation, die so etwas wie die Bewegung des Balls ist (von oben gesehen). Oh, das habe ich in Python gemacht - hier ist der Code.
Beachten Sie, dass sich der Ball an einigen Punkten der Mitte der "Umlaufbahn" nähert, was bedeutet, dass die Größe des Positionsvektors r abnimmt. Was passiert mit der Geschwindigkeit des Balls (und damit seiner Dynamik)? Hier ist ein Diagramm von Momentum vs. Position.
Richtig, je näher der Ball der Mitte kommt, desto schneller geht er und desto linearer ist sein Impuls. Aber was ist mit Drehimpuls? Da das sowohl von r als auch von p abhängt, ist es nicht so klar. Einer dieser Werte fällt, während der andere steigt.
Aber warte! Vergessen Sie nicht den Winkel zwischen r und p. Während sich der Ball um seine „Umlaufbahn“bewegt, ergibt die Kombination dieser drei Größen einen konstanten Drehimpuls. Es gibt also zwei Gründe, warum der Drehimpuls konstant ist. Erstens, weil es kein Drehmoment gibt, und zweitens, wegen der mathematischen Beziehung zwischen r, p und θ.
Spar dein Geld
Also dieser Karnevalstrick? Folgendes haben wir gelernt: Wenn der Ball durch die Mitte geht, ist r = 0, und weil L = r × p, ist der Drehimpuls Null - was bedeutet, dass er sich in einer geraden Linie vorwärts und rückwärts bewegt. Das kann nicht funktionieren, weil der Ball um den Stift schwingen und ihn von hinten treffen muss.
Und wenn die Kugel an der Seite des Stifts vorbeigeht, ist r> 0 und der Drehimpuls ungleich Null. Und mit einem Drehimpuls ungleich Null ist es unmöglich, durch die Mitte zu gelangen. Der Drehimpuls müsste sich ändern, und wir haben bereits gesehen, dass er konstant ist.
