Die tiefen Vertiefungen der Zahlenreihe sind nicht so abstoßend, wie es scheinen mag. Dies ist eine Konsequenz eines wichtigen neuen Beweises, wie komplizierte Zahlen zu einfachen Annäherungen führen.
Der Beweis löst ein fast 80 Jahre altes Problem, das als Duffin-Schaeffer-Vermutung bekannt ist. Damit gibt es eine endgültige Antwort auf eine Frage, die Mathematiker seit jeher beschäftigt: Unter welchen Umständen ist es möglich, irrationale Zahlen, die für immer weitergehen - wie pi - mit einfachen Brüchen, wie 22/7, darzustellen? Der Beweis zeigt, dass die Beantwortung dieser sehr allgemeinen Frage das Ergebnis einer einzigen Berechnung ist.
"Es gibt ein einfaches Kriterium dafür, ob Sie praktisch jede Zahl oder praktisch keine Zahl approximieren können", sagte James Maynard von der University of Oxford, Co-Autor des Beweises mit Dimitris Koukoulopoulos von der University of Montreal.
Mathematiker hatten jahrzehntelang vermutet, dass dieses einfache Kriterium der Schlüssel zum Verständnis ist, wenn gute Näherungen vorliegen, aber sie konnten es nie beweisen. Koukoulopoulos und Maynard waren dazu erst in der Lage, nachdem sie dieses Problem der Zahlen in Bezug auf die Verbindungen zwischen Punkten und Linien in einem Diagramm neu definiert hatten - eine dramatische Verschiebung der Perspektive.
"Sie hatten ein hohes Maß an Selbstvertrauen, das offensichtlich gerechtfertigt war, um den eingeschlagenen Weg zu beschreiten", sagte Jeffrey Vaaler von der University of Texas, Austin, der wichtige frühere Ergebnisse zu diesem Thema beisteuerte Duffin-Schaeffer-Vermutung. "Es ist ein schönes Stück Arbeit."
Der Äther der Arithmetik
Rationale Zahlen sind die einfachen Zahlen. Dazu gehören die Zählzahlen und alle anderen Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können.
Diese Fähigkeit, aufgeschrieben zu werden, macht rationale Zahlen zu denjenigen, die wir am besten kennen. Aber rationale Zahlen sind tatsächlich unter allen Zahlen selten. Die überwiegende Mehrheit sind irrationale Zahlen, endlose Dezimalzahlen, die nicht als Brüche geschrieben werden können. Einige wenige sind wichtig genug, um symbolische Darstellungen wie pi, e und die Quadratwurzel von 2 zu haben. Der Rest kann nicht einmal benannt werden. Sie sind überall, aber unantastbar, der Äther der Arithmetik.
Vielleicht ist es eine natürliche Frage: Wenn wir irrationale Zahlen nicht genau ausdrücken können, wie nah kommen wir dann heran? Dies ist das Geschäft der rationalen Approximation. Alte Mathematiker haben zum Beispiel erkannt, dass das schwer fassbare Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser gut durch den Bruch 22/7 angenähert werden kann. Spätere Mathematiker entdeckten eine noch bessere und fast ebenso prägnante Näherung für pi: 355/113.
"Es ist schwer aufzuschreiben, was Pi ist", sagte Ben Green aus Oxford. "Die Leute haben versucht, explizite Annäherungen an pi zu finden, und ein üblicher Weg, dies zu tun, ist die Verwendung von Rationals."
1837 fand der Mathematiker Gustav Lejeune Dirichlet eine Regel dafür, wie gut sich irrationale Zahlen durch rationale approximieren lassen. Es ist einfach, Annäherungen zu finden, solange Sie nicht zu genau über den Fehler informiert sind. Dirichlet erwies sich jedoch als direkte Beziehung zwischen Brüchen, irrationalen Zahlen und den Fehlern, die die beiden trennten.
Er bewies, dass es für jede irrationale Zahl unendlich viele Brüche gibt, die der Zahl immer näher kommen. Insbesondere ist der Fehler jedes Bruchs nicht mehr als 1 geteilt durch das Quadrat des Nenners. So nähert sich der Bruch 22/7 beispielsweise pi innerhalb von 1/7 2 oder 1/49 an. Der Bruchteil 355/113 liegt innerhalb von 1/113 2 oder 1 / 12, 769. Dirichlet hat bewiesen, dass es unendlich viele Fraktionen gibt, die mit zunehmendem Nenner der Fraktion immer näher an pi rücken.
"Es ist eine ziemlich schöne und bemerkenswerte Sache, dass man eine reelle Zahl immer durch einen Bruch annähern kann und der Fehler nicht mehr als 1 über [dem Nenner im Quadrat] ist", sagte Andrew Granville von der Universität von Montreal.
Dirichlets Entdeckung war gewissermaßen eine enge Aussage über die rationale Approximation. Es heißt, dass Sie unendlich viele approximierende Brüche für jede irrationale Zahl finden können, wenn Ihre Nenner eine ganze Zahl sein können und wenn Sie bereit sind, einen Fehler zu akzeptieren, der 1 über dem Quadrat des Nenners liegt. Aber was ist, wenn Sie möchten, dass Ihre Nenner aus einer (immer noch unendlichen) Teilmenge der ganzen Zahlen, wie allen Primzahlen oder allen perfekten Quadraten, gezogen werden? Und was ist, wenn Ihr Approximationsfehler 0, 00001 sein soll oder andere Werte, die Sie wählen könnten? Wird es Ihnen gelingen, unter diesen spezifischen Bedingungen unendlich viele Approximationsfraktionen zu erzeugen?
Die Duffin-Schaeffer-Vermutung ist ein Versuch, einen möglichst allgemeinen Rahmen für das Denken über rationale Approximation zu schaffen. Die Mathematiker RJ Duffin und AC Schaeffer stellten sich 1941 folgendes Szenario vor. Wählen Sie zunächst eine unendlich lange Liste von Nennern. Dies kann alles sein, was Sie wollen: Alle ungeraden Zahlen, alle Zahlen, die ein Vielfaches von 10 sind, oder die unendliche Liste von Primzahlen.
Zweitens wählen Sie für jede der Zahlen in Ihrer Liste aus, wie genau Sie eine irrationale Zahl approximieren möchten. Intuition sagt Ihnen, dass Sie eher in der Lage sind, die Annäherung zu verwirklichen, wenn Sie sich sehr großzügig Fehler erlauben. Wenn Sie sich weniger Spielraum geben, wird es schwieriger. "Jede Sequenz kann funktionieren, vorausgesetzt Sie lassen genügend Platz", sagte Koukoulopoulos.
Anhand der von Ihnen festgelegten Parameter - der Zahlen in Ihrer Sequenz und der definierten Fehlerbegriffe - möchten Sie nun wissen: Kann ich unendlich viele Brüche finden, die sich allen irrationalen Zahlen annähern?
Die Vermutung liefert eine mathematische Funktion zur Bewertung dieser Frage. Ihre Parameter gehen als Eingaben ein. Das Ergebnis kann auf zwei Arten erzielt werden. Duffin und Schaeffer vermuteten, dass diese beiden Ergebnisse genau der Frage entsprechen, ob Ihre Sequenz praktisch alle irrationalen Zahlen mit der geforderten Genauigkeit approximieren kann oder praktisch keine. (Es ist "praktisch" alles oder nichts, weil es für jeden Satz von Nennern immer eine vernachlässigbare Anzahl irrationaler Ausreißerzahlen gibt, die gut angenähert werden können oder nicht.)
„Man bekommt so gut wie alles oder man bekommt so gut wie nichts. Es gibt überhaupt keinen Mittelweg “, sagte Maynard.
Es war eine äußerst allgemeine Aussage, die versuchte, die Verwerfung und den Schuss einer rationalen Annäherung zu charakterisieren. Das von Duffin und Schaeffer vorgeschlagene Kriterium fühlte sich für Mathematiker richtig an. Um zu beweisen, dass das binäre Ergebnis dieser Funktion alles ist, was Sie brauchen, müssen Sie wissen, ob Ihre Approximationen funktionieren - das war viel schwieriger.
Doppelzählung
Um die Duffin-Schaeffer-Vermutung zu beweisen, muss man wirklich genau verstehen, wie viel Kilometer Sie aus jedem Ihrer verfügbaren Nenner herausholen. Um dies zu sehen, ist es nützlich, über eine verkleinerte Version des Problems nachzudenken.
Stellen Sie sich vor, Sie möchten alle irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 approximieren. Stellen Sie sich vor, Ihre verfügbaren Nenner sind die Zählzahlen 1 bis 10. Die Liste der möglichen Brüche ist ziemlich lang: Zuerst 1/1, dann 1/2 und 2/2, dann 1/3, 2/3, 3/3 und so weiter bis 9/10 und 10/10. Dennoch sind nicht alle diese Fraktionen nützlich.
Der Bruch 2/10 ist zum Beispiel der gleiche wie 1/5 und 5/10 deckt den gleichen Grund wie 1/2, 2/4, 3/6 und 4/8 ab. Vor der Duffin-Schaeffer-Vermutung hatte ein Mathematiker namens Aleksandr Khinchin eine ähnlich umfassende Aussage zur rationalen Approximation formuliert. Aber sein Theorem berücksichtigte nicht die Tatsache, dass äquivalente Brüche nur einmal zählen sollten.
"Normalerweise sollte etwas, das erstklassige Mathematik ist, keinen Unterschied für die Lösung bedeuten", sagte Granville. "Aber in diesem Fall hat es überraschenderweise einen Unterschied gemacht."
Daher enthält die Duffin-Schaeffer-Vermutung einen Begriff, der die Anzahl der eindeutigen Brüche (auch reduzierte Brüche genannt) berechnet, die Sie von jedem Nenner erhalten. Dieser Begriff wird nach seinem Erfinder, dem Mathematiker Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert, als Euler-Phi-Funktion bezeichnet. Die Euler-Phi-Funktion von 10 ist 4, da es nur vier reduzierte Brüche zwischen 0 und 1 mit 10 als Nenner gibt: 1/10, 3/10, 7/10 und 9/10.
Der nächste Schritt besteht darin, herauszufinden, wie viele irrationale Zahlen Sie mit jeder der reduzierten Brüche approximieren können. Dies hängt davon ab, wie viel Fehler Sie akzeptieren möchten. Mit der Duffin-Schaeffer-Vermutung können Sie für jeden Ihrer Nenner einen Fehler auswählen. Für Brüche mit Nenner 7 können Sie also den zulässigen Fehler auf 0, 02 setzen. Mit Nenner 10 können Sie mehr erwarten und auf 0, 01 setzen.
Sobald Sie Ihre Brüche identifiziert und Ihre Fehlerbedingungen festgelegt haben, ist es Zeit, nach irrationalen Begriffen zu suchen. Tragen Sie Ihre Brüche in die Zahlenreihe zwischen 0 und 1 ein und stellen Sie sich die Fehlerausdrücke als Netze vor, die sich von beiden Seiten der Brüche erstrecken. Sie können sagen, dass alle in den Netzen gefangenen Irrationalen unter Berücksichtigung der von Ihnen festgelegten Bedingungen „gut angenähert“wurden. Die Frage - die große Frage - ist: Wie viele Irrationalitäten haben Sie gefangen?
Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen in einem Intervall auf der Zahlenzeile, sodass die erfassten irrationalen Zahlen nicht als exakte Zahl ausgedrückt werden können. Stattdessen fragen Mathematiker nach dem Anteil der Irrationalen an der Gesamtzahl der Irrationalen, die von jeder Fraktion erfasst werden. Sie quantifizieren diese Anteile mithilfe eines Konzepts, das als „Maß“für eine Reihe von Zahlen bezeichnet wird. Dies entspricht der Quantifizierung eines Fischfangs nach Gesamtgewicht und nicht nach Anzahl der Fische.
In der Duffin-Schaeffer-Vermutung addieren Sie die Maße der Mengen irrationaler Zahlen, die von jedem approximierenden Bruch erfasst werden. Diese Zahl wird als große arithmetische Summe dargestellt. Dann trifft es seine Schlüsselvorhersage: Wenn diese Summe ins Unendliche geht, dann haben Sie praktisch alle irrationalen Zahlen angenähert; Wenn diese Summe stattdessen bei einem endlichen Wert endet, haben Sie praktisch keine irrationalen Zahlen approximiert, unabhängig davon, wie viele Kennzahlen Sie zusammenfassen.
Diese Frage, ob eine unendliche Summe zur Unendlichkeit „divergiert“oder zu einem endlichen Wert „konvergiert“, stellt sich in vielen Bereichen der Mathematik. Die Hauptbehauptung der Duffin-Schaeffer-Vermutung lautet: Wenn Sie herausfinden möchten, ob Sie mit einem Satz Nenner und zulässigen Fehlerausdrücken nahezu alle irrationalen Zahlen approximieren können, ist dies die einzige Funktion, die Sie kennen müssen: ob diese unendliche Summe von Maßen divergiert unendlich werden oder gegen einen endlichen Wert konvergieren.
"Letztendlich hängt es davon ab, ob die zugehörige unendliche Folge abweicht oder nicht, ob Sie den Grad der Annäherung für [jeden Nenner] festgelegt haben oder nicht", sagte Vaaler.
Eine Lösung zeichnen
Sie fragen sich vielleicht: Was passiert, wenn sich die von einem Bruch angenäherten Zahlen mit den von einem anderen Bruch angenäherten Zahlen überschneiden? Zählen Sie in diesem Fall nicht doppelt, wenn Sie die Kennzahlen addieren?
Für einige Approximationssequenzen ist das Problem der Doppelzählung nicht signifikant. Mathematiker haben beispielsweise vor Jahrzehnten bewiesen, dass die Vermutung für Approximationssequenzen gilt, die aus allen Primzahlen bestehen. Aber für viele andere Approximationssequenzen ist die Herausforderung der Doppelzählung gewaltig. Deshalb konnten Mathematiker die Vermutung 80 Jahre lang nicht lösen.
Inwieweit verschiedene Nenner überlappende Mengen irrationaler Zahlen erfassen, spiegelt sich in der Anzahl der Primfaktoren wider, die die Nenner gemeinsam haben. Betrachten Sie die Zahlen 12 und 35. Die Primfaktoren von 12 sind 2 und 3. Die Primfaktoren von 35 sind 5 und 7. Mit anderen Worten, 12 und 35 haben keine Primfaktoren gemeinsam - und deshalb gibt es keine viel Überlappung in den irrationalen Zahlen, die durch Brüche mit 12 und 35 im Nenner gut angenähert werden können.
Aber was ist mit den Nennern 12 und 20? Die Primfaktoren von 20 sind 2 und 5, die sich mit den Primfaktoren von 12 überschneiden. Ebenso überschneiden sich die irrationalen Zahlen, die durch Brüche mit Nenner 20 approximiert werden können, mit denjenigen, die durch Brüche mit Nenner 12 approximiert werden können. Schaeffer-Vermutungen sind in Situationen wie diesen am schwierigsten zu beweisen - wenn die Zahlen in der Näherungssequenz viele kleine Primfaktoren gemeinsam haben und es eine große Überlappung zwischen den Zahlenmengen gibt, die jeder Nenner approximiert.
"Wenn viele der Nenner, aus denen Sie wählen müssen, viele kleine Primfaktoren haben, beginnen sie sich gegenseitig in die Quere zu kommen", sagte Sam Chow aus Oxford.
Der Schlüssel zur Lösung der Vermutung bestand darin, einen Weg zu finden, um die Überlappung in den Mengen irrationaler Zahlen, die durch Nenner mit vielen kleinen gemeinsamen Primfaktoren approximiert werden, genau zu quantifizieren. Seit 80 Jahren konnte es niemand mehr tun. Koukoulopoulos und Maynard kamen dorthin, indem sie eine völlig andere Sichtweise auf das Problem fanden.
In ihrem neuen Beweis erstellen sie ein Diagramm aus ihren Nennern - zeichnen sie als Punkte auf und verbinden die Punkte mit einer Linie, wenn sie viele Primfaktoren gemeinsam haben. Die Struktur dieses Diagramms codiert die Überlappung zwischen den irrationalen Zahlen, die von jedem Nenner angenähert werden. Und während diese Überlappung schwer direkt zu untersuchen ist, haben Koukoulopoulos und Maynard einen Weg gefunden, die Struktur des Graphen mithilfe von Techniken aus der Graphentheorie zu analysieren - und die Informationen, um die sie sich kümmerten, fielen von dort ab.
"Das Diagramm ist eine visuelle Hilfe. Es ist eine sehr schöne Sprache, um über das Problem nachzudenken", sagte Koukoulopoulos.
Koukoulopoulos und Maynard haben bewiesen, dass die Duffin-Schaeffer-Vermutung in der Tat zutrifft: Wenn Sie eine Liste von Nennern mit zulässigen Fehlerausdrücken erhalten, können Sie feststellen, ob Sie praktisch alle irrationalen Zahlen oder praktisch keine approximieren können, indem Sie einfach prüfen, ob die entsprechende Summe von Das Maß um jeden Bruch herum weicht gegen unendlich ab oder konvergiert gegen einen endlichen Wert.
Es ist ein eleganter Test, der eine große Frage nach der Natur der rationalen Approximation auf einen einzigen berechenbaren Wert reduziert. Koukoulopoulos und Maynard haben bewiesen, dass der Test allgemein gültig ist und eine der seltensten Leistungen in der Mathematik erbracht: Sie haben eine endgültige Antwort auf ein grundlegendes Anliegen auf ihrem Gebiet gegeben.
