Wissenschaft ist immer ein unvollendetes Projekt. Das macht es so viel Spaß. Der Prozess - Sammeln von Daten, Erstellen von Modellen zur Erklärung der Funktionsweise der Welt und anschließendes Entthronen mit neuen Modellen - ist voller Überraschungen und Nervenkitzel. Aber vielleicht kommen die allerbesten Geschichten aus der Astronomie. Schauen wir uns also einen Teil dieser Geschichte an, das Kapitel, in dem Isaac Newton über Johannes Kepler gesprochen hat.
Natürlich brauchen Sie zuerst die Hintergrundgeschichte. Die alten Griechen untersuchten die Erde und den Himmel, aber in ihrem Grundmodell bewegten sich alle Objekte (Sonne, Mond und Planeten) in Kreisen um uns herum. Später sagte Nicolaus Copernicus: "Hey, wenn Sie die Sonne in die Mitte stellen, können Sie diese seltsame Bewegung des Mars erklären." Danach, in den frühen 1600er Jahren, entwickelte Kepler sein Modell für die Planetenbewegung. Es wurde viel gekämpft und geweint, aber das überlasse ich Ihrer Phantasie.
Keplers Modell hat drei Hauptideen. (Diese werden normalerweise als "Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung" dargestellt, aber zusammengenommen ist es nur ein Modell.)
- Planeten umkreisen die Sonne in elliptischen (nicht kreisförmigen) Bahnen.
- Je näher ein Planet der Sonne kommt, desto schneller bewegt er sich.
- Die Umlaufzeit (T) ist durch den Ausdruck T 2 = a 3 (wobei T in Jahren und a in Einheiten des Abstandes Erde-Sonne gemessen wird) mit der Umlaufzeit (a) verbunden.
Ein paar Kommentare: Erstens basiert dieses Modell nur auf den zu diesem Zeitpunkt verfügbaren Beobachtungsdaten, passt aber recht gut zu den Daten. Das war keine leichte Aufgabe. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen nur, die Umlaufbahnen der Planeten zu zeichnen. Sie würden das tun, indem Sie ihren Standort im Laufe der Jahre am Himmel beobachten. Aber dann musste man die Tatsache berücksichtigen, dass der Punkt, von dem aus gemessen wurde, sich auch durch den Raum drehte.
Es gibt noch etwas Wichtiges zu beachten. Die Beziehung zwischen Periode und Umlaufbahndistanz ergibt eine "1 = 1" -Gleichung für die Erde. Es dauert ein Jahr, bis die Erde die Sonne umkreist, und es hat eine Umlaufbahnentfernung von 1 AE (astronomische Einheit - Entfernung von der Erde zur Sonne). Es dauerte nicht lange, bis jemand in der Lage war, die Entfernung von der Erde zur Sonne zu bestimmen. Das ist verrückt, wenn Sie darüber nachdenken.
Damit wir uns alle auf einer Seite befinden, sehen Sie hier ein numerisches Modell, das Keplers Gesetze für einen zufälligen Planeten verwendet, der die Sonne umkreist. Es ist nur ein.gif"
Dies ist das beste Modell der Planetenbewegung, das wir vor Newton hatten. Und wirklich, es ist ein gutes Modell. Sie können es sogar verwenden, um ein neues Objekt zu finden, das die Sonne umkreist, oder um die Bewegung eines Kometen zu modellieren. Aber könnte es allgemeiner sein? Gibt es ein grundlegenderes Modell, das sowohl die Bewegung eines Planeten, der die Sonne umkreist, als auch die Bewegung des Mondes, der die Erde umkreist, erklären könnte? Vielleicht sogar eine, die auch die Bewegung eines Apfels erklären könnte, der von einem Baum fällt?
OK, die Legende von Newtons Zwischenfall mit Äpfeln mag stimmen oder auch nicht, aber das spielt keine Rolle. Im Grunde fragte er sich, ob die gleiche Kraft, die Dinge wie Äpfel herabfallen lässt, auch dazu führen könnte, dass der Mond die Erde umkreist. Es könnte wie eine verrückte Frage gewirkt haben, da ein fallender Apfel keine offensichtlichen Ähnlichkeiten mit einem Mond hat. Aber Newton hat es geschafft, ein Modell für die Schwerkraft zu entwickeln, das praktisch überall funktioniert. Deshalb wird es allgemein das universelle Gesetz der Schwerkraft genannt. So funktioniert das:
Angenommen, ich habe zwei Massen (m 1 und m 2), die einen gewissen Abstand (r) voneinander haben:
Sie können sehen, dass es eine attraktive Interaktion zwischen ihnen gibt. Die Kraft, die m 1 auf m 2 (F 12) ausübt, hat dieselbe Größe (aber entgegengesetzte Richtung) wie die Kraft, die m 2 auf m 1 ausübt (F 21). Das Ausmaß dieser Wechselwirkung kann mit dem folgenden Ausdruck ermittelt werden:
Der Schlüssel hier ist die "umgekehrte quadratische" Natur der Kraft. Wenn Sie den Abstand r zwischen zwei Objekten verdoppeln, verringert sich die Größe der Kraft um den Faktor 4 (weil das 2 Quadrat ist). Aber was ist mit diesem G? Das ist die universelle Gravitationskonstante. Es hat einen Wert von ungefähr 6, 67 × 10 –11 Nm 2 / kg 2. Obwohl es ziemlich wichtig ist, wusste Newton eigentlich nicht, welchen Wert diese Konstante hat.
Wie hat Newtons Modell funktioniert? Wie könnte es das Fallen von Früchten erklären und gleichzeitig Keplers Planetenbahnmodell erfüllen? Lass uns das machen. Ich werde das Gravitationsmodell verwenden, um Keplers Modell zu überprüfen. Es ist möglich, dies auf Papier zu tun (eine analytische Lösung), aber das kann ziemlich chaotisch werden. Stattdessen verwende ich eine Methode, die Newton nicht zur Verfügung stand: die numerische Berechnung. Dies funktioniert, indem die Bewegung eines Planeten in kurze Zeitintervalle aufgeteilt wird. Während dieser kurzen Intervalle können wir annehmen, dass die Gravitationskraft konstant ist (sowohl in Richtung als auch in Größe) und diese konstante Kraft verwenden, um die Geschwindigkeit und Position zu aktualisieren. Dann wiederholen wir den gleichen Vorgang nur für das nächste Intervall und das nächste und so weiter. Mit einem Computer ist es wirklich nicht zu schwer. Natürlich brauchen wir die Beziehung zwischen Kraft (F) und Beschleunigung (a):
Ich verwende das Standardsymbol a für die Beschleunigung. Nur um klar zu sein, es ist nicht dasselbe wie in Keplers Gesetzen oben. Diese Pfeilsymbole? Sie bedeuten, dass die Variablen Vektoren und keine einzelnen Zahlen sind. (Wenn das Wort "Vektor" Sie ausflippt, tun Sie einfach so, als ob ich es nicht gesagt hätte. Sie können hier immer noch leicht der Mathematik folgen.) Mit dieser Gleichung kann ich die Beschleunigung des Planeten ermitteln. Dann kann ich mit der Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit v finden. (Der griechische Buchstabe Δ bedeutet "Änderung in".)
Schließlich kann ich mit der Geschwindigkeit die neue Position des Planeten finden:
Es mag seltsam erscheinen, aber es ist ziemlich üblich, das Abstandssymbol r für die Position zu verwenden. Es gibt jedoch ein Problem mit diesem letzten Ausdruck. Es verwendet die Geschwindigkeit des Objekts, die ich gerade aktualisiert habe. Ich verwende also technisch die Geschwindigkeit am Ende des Zeitintervalls - und das ist falsch. Aber es ist nur "irgendwie falsch". Wenn das Zeitintervall klein genug ist, verursacht der Fehler kein Problem. Oh, und mit "kleinem Zeitintervall" meine ich so etwas wie eine Stunde; hier geht es nicht um Mikrosekunden. Das funktioniert nicht für erdgebundene Modelle, aber wir sprechen von riesigen Entfernungen in der Astrophysik. Planeten bewegen sich in einer Stunde nicht so viel (relativ gesehen), dass sich die Kraft ändert.
Das ist also die Grundidee der numerischen Berechnung. Jetzt können Sie sehen, wie ich es implementiere, um die Flugbahn eines umlaufenden Planeten zu zeichnen. Klicken Sie auf die Schaltfläche Abspielen, um die Simulation auszuführen. Dies ist der eigentliche Code. Sie können auf das Stiftsymbol klicken, um es anzuzeigen, und ich habe dort einige Kommentare eingefügt, um Vorschläge zu machen, die Sie zum Spaß ändern könnten. Verrückt werden, sehen Sie, wie Sie das Universum verändern. Sie können nichts brechen (zumindest nicht dauerhaft).
Versuchen Sie, die Startposition des Planeten (Linie 12) und die Startgeschwindigkeit (Linie 21) zu ändern. Was geschieht? Ich habe sowohl den Planeten als auch die Sonne dramatisch vergrößert, damit Sie sie sehen können.
Was ist mit Kepler? Es sollte zumindest plausibel sein, dass die Flugbahn des Planeten eine Ellipse ist. Ja, Sie können eine Kreisbahn erreichen, aber Sie müssten entweder die Startgeschwindigkeit oder die Startposition ändern. (Ich habe einen Hinweis in den Code eingefügt.) Das ist gut genug für Keplers erstes Gesetz.
Das zweite Gesetz ist nicht schlecht. Du solltest wieder in der Lage sein zu sehen, dass der Planet schneller wird, wenn er sich der Sonne nähert. Hier ist ein Diagramm der Größe der Planetengeschwindigkeit als Funktion der Umlaufbahnentfernung. Sie können sehen, dass es für kleinere Umlaufbahnen tatsächlich schneller ist.
Nun, wenn Sie Keplers Gesetze studiert haben, könnten Sie hier einen Einwand erheben: "Was ist mit den gleichen Bereichen zu gleichen Zeiten?" Ja, die gebräuchlichste Art, Keplers zweites Gesetz zu formulieren, ist, dass ein Planet in einer bestimmten Zeitspanne denselben Bereich "ausfegt", unabhängig davon, wo er sich in seiner Umlaufbahn befindet. Wenn es näher an der Sonne ist, hat es einen kleinen Umlaufradius, bewegt sich aber schneller. Der "Keil", den es ausfegt, ist breit und kurz. Aber dieser Keil wird die gleiche Fläche haben, wie wenn der Planet weit weg ist - wo er einen langen dünnen Keil haben wird. Wenn Sie Flächen berechnen möchten, fahren Sie fort. Ich mag meine Darstellung von Geschwindigkeit und Umlaufbahn.
Der letzte Teil des Kepler-Modells ist die Beziehung zwischen Umlaufzeit und Umlaufdistanz. OK, wieder hast du mich beim Schummeln erwischt. Wie finden Sie die Umlaufbahn eines Planeten, der sich nicht im Kreis bewegt? Es gibt verschiedene Methoden, aber ich gehe mit der einfachsten. Ich werde eine Flugbahn des Planeten zeichnen und dann einfach den Abstand vom Zentrum zur "dünnen" Seite der Ellipse messen. Dies nennt man die Semi-Major-Orbitalachse. (Wenn Sie den Durchmesser der Ellipse in der Längsrichtung entlang der Hauptachse messen, ist die Halbhauptachse im Allgemeinen die Hälfte davon.)
Ich kann die Umlaufzeit auch ermitteln, indem ich nur die Simulationszeit an dem Punkt betrachte, an dem der Planet zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt. Das heißt, ich kann ein paar verschiedene Planeten mit verschiedenen Umlaufbahnen erstellen, um diese Darstellung zu erhalten:
Hier sehen Sie eine grafische Darstellung der quadratischen Umlaufzeit (in Einheiten von Jahren) gegenüber der gewürfelten Semi-Major-Achse (in Einheiten von AU). Die Daten sind nicht perfekt, weil ich die Semi-Major-Achse nur grob gemessen habe, aber Sie können sehen, dass dies eine lineare Funktion ist. Wichtiger ist, dass die Steigung der linearen Anpassung 1 ist. Das bedeutet, dass ich mit dem Newtonschen Gravitationsmodell tatsächlich das dritte Kepler-Gesetz erhalte.
Warten! Es gibt noch etwas zu überprüfen. Funktioniert Newtons Gravitationsmodell mit fallenden Äpfeln? Wenn ein Apfel von einem Baum fällt, beschleunigt er sich, wenn er sich nach unten bewegt. Die Beschleunigung dieses fallenden Apfels beträgt –9, 8 m / s 2, wenn er sich in der Nähe der Erdoberfläche befindet. Lassen Sie uns dies mit einer numerischen Berechnung tun. Ich werde das universelle Gravitationsmodell verwenden, wobei der Apfel 2 Meter über dem Boden beginnt. Hier ist der Code und hier ist was ich bekomme:
